Свойства решений вариационной задачи пошаговой оптимизации перераспределения точек на линейке процессорных элементов

Бондаренко Ю. А.
Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. Тезисы докл. Междунар. математич. конф 1997. Вып.1. С. 11-12.

      На линейке процессорных элементов (ПЭ) рассматривается численный метод типа явной разностной схемы с монотонным распределением точек сетки m(х, t) на ПЭ; где m — номер точки, х — номер ПЭ, t — номер шага по времени. Считается, что при его распараллеливании применяется алгоритм динамического выравнивания нагрузки ПЭ посредством передачи на каждом шаге точек сетки с одного ПЭ на другие, соседние.
      Предполагается, что σ(m, t) — время счета точки с номером m в момент времени t — и α(m) — время пересылки точки с номером m с одного на другой ПЭ — непрерывно дифференцируемые по m положительные функции. Функционал
      
      описывает время счета одного шага по времени, где m₀(x) = m(х, t - Δt) - распределение точек на линейке ПЭ на предыдущем шаге. Время (1) надо минимизировать с учетом краевых условий
      
      и условия монотонности .
      Для этой вариационной задачи пошаговой оптимизации времени счета доказаны следующие теоремы.
      Теорема 1. Если функционал S[m] достигает своего минимума на функции m(х), удовлетворяющей краевым условиям (2) и условию монотонности (3), то тогда эта функция удовлетворяет уравнению
      .
      Обратно, каждое непрерывное решение уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям {2} и условию монотонности (3), удовлетворяет также необходимому условию минимальности σS[m] > 0, Vσm(x).
      Нелинейное дифференциальное уравнение (4), описывающее необходимые условия минимальности, содержит негладкое второе слагаемое. Кроме того, имеется неизвестная постоянная. Поэтому вопрос о существовании и единственности решения представляет не только академический интерес, тем более что в теории оптимального управления известны примеры негладких вариационных задачу, которые не имеют решений или имеют формальные решения, не имеющие прикладного смысла. Например, может оказаться, что формальное решение будет немонотонным, что лишит его прикладного смысла. Следующие две теоремы проясняют этот вопрос.
      Теорема 2. Пусть функция m₀(х) ограничена и непрерывно дифференцируема. Тогда уравнение (4) всегда имеет решение {Φ, m(x)}, удовлетворяющее краевым условиям (2), это решение единственное и функция m(х) непрерывно дифференцируема.
      Теорема 3. Пусть функция m₀(х) ограничена и непрерывно дифференцируема. Если функция m₀(х) удовлетворяет условию монотонности и краевым условиям
      Т₀(х), _x=0 = 0, m₀(х), _x=X1 = M1,
      то решение m(х) уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям (2), есть также монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая функция.

      В докладе приведены результаты работы, выполненной в комплексе программ МИМОЗА, по распараллеливанию вычислений при решении двумерных уравнений газовой динамики и теплопроводности на 8-процессорной вычислительной системе МП-3. Область решения разбивается на подобласти, число которых равно числу процессоров. При решении уравнений газовой динамики соседние подобласти имеют общие пересекающиеся части, через которые осуществляется обмен между процессорами. При распараллеливании вычислений решения двумерного уравнения теплопроводности используется конвейерный алгоритм, а также алгоритм с транспонированием. Приведены результаты двух расчетов.