Методика и программа определения общего объема пересечения двух произвольно расположенных в пространстве шестигранников с неплоскими гранями

Делов В. И., Дмитриева Л. В., Садчиков В. В.
Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. Тезисы докл. Междунар. математич. конф 1997. Вып.1. С. 20.

      Доклад посвящен описанию методики, разработанной для решения пространственной задачи о существовании пересечения двух произвольно расположенных в пространстве шестигранников с неплоскими гранями, и нахождению их общего объема пересечения, если оно имеет место. Потребность в создании подобного рода алгоритмов и программ возникает, в частности, при расчетах задач газодинамики в лагранжевых координатах. Известно, что в этом случае в процессе численного решения сложных задач возникает потребность в разовой перестройке сетки и пересчете величин со старой сетки на новую из-за невозможности продолжения счета. Такие ситуации возникают, например, при больших искажениях счетных сеток, пересжатиях физических областей, образовании мелкомасштабных струйных течений.
      Сталкиваться с решением рассмотренных в докладе задач приходится и при созданий лагранжево-эйлеровых методик для решения задач механики сплошной среды с большими деформациями. Помимо этого подобного рода алгоритмы крайне необходимы для создания графических пакетов и программ, ориентированных на работу с трехмерными геометрическими объектами.
      Решение задачи сводится к нахождению точного объема пересечения двух четырехгранников, произвольно расположенных в пространстве.
      Рассматриваются способы разбиения многогранников на элементарные четырехгранники и основные особенности реализации предложенных алгоритмов в виде программ. Сообщается о наиболее экономичных с точки зрения времени расчета способах разбиения многогранников, не приводящих к дополнительным погрешностям в процессе вычислений.
      В докладе приведены результаты тестовых расчетов пересечения шестигранников с гранями, являющимися поверхностями второго порядка, гиперболическими параболоидами, которые используются в трехмерной методике Д.

      В докладе предложен подход к конструированию консервативных дифференциально-разностных представлений уравнений, описывающих нестационарные упругопластические течения в переменных Лагранжа. Излагаемая методика является развитием двумерной методики построения пространственных аппроксимаций уравнений движения газовой динамики [1,2] для случая упругопластических сред.
      В представленной работе матрица кинетической энергии, определяющая способ аппроксимации градиента давления, берется в канонической форме, которая традиционно используется в газодинамических методиках.
      В докладе приведены разностные формулы для компонент тензора скоростей деформаций и полученные по ним разностные аппроксимации для вычисления производных от компонент девиатора напряжений.
      Сообщается о результатах расчетов по разностным схемам, в которых сеточное распределение величин по времени берется, как это принято в методике Д [3], и производная по времени аппроксимируется со вторым порядком. На задаче о колебаниях упругой мембраны показаны несомненные преимущества полученных разностных схем по сравнению с классической схемой Уилкинса.
      1. Исаев В.Н., Софронов И.Д. Конструирование дискретных моделей уравнений газовой динамики на основе законов взаимного превращения кинетической и внутренней энергий сплошной среды // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики.1984. Вып. 1(15). С. 3-7.
      3. Дмитриев Н.А., Дмитриева Л.В., Малиновская Е.В., Софронов И.Д. Методика расчета нестационарных двумерных задач газовой динамики в лагранжевых переменных // Теоретические основы и конструирование, численных алгоритмов задач математической физики / Под ред. Бабенко К.И. М.: Наука, 1979.С. 175-200.