Неявные конечно-разностные методы решения двумерных уравнений математической физики, основанные на аппроксимации “ромбического” типа, и их применение при математическом моделировании механики сплошной среды и кинетических процессов

Гаджиев А. Д., Кузьмин С. Ю., Лебедев С. Н., Писарев В. Н., Шестаков А. А.
Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. Тезисы докл. Междунар. математич. конф 1997. Вып.1. С. 15-16.

      При совместном моделировании гидродинамики в лагранжевых координатах и других физических процессов разностная сетка становится сильно неортогональной. Эффективность численных методов решения подобного рода задач зависит от точности используемых разностных алгоритмов на неортогональных сетках, от способности этих алгоритмов обеспечивать приемлемую точность на сетках с большими деформациями.
      В настоящее время достаточно хорошо изучены недостатки традиционной девятиточечной разностной схемы для решения уравнений диффузионного типа. В соответствующих методиках происходит быстрая потеря точности по мере нарастания неортогональности сетки. Это следствие того, что из двух операторов дивергенции и градиента плохо аппроксимируется оператор градиента.
      На данный момент предложено несколько подходов построения разностных схем, обеспечивающих удовлетворительную точность решения диффузионных уравнений на неортогональных сетках. Подход авторов доклада, основанный на аппроксимации “ромбического” типа, применим к широкому классу уравнений матфизики. В методиках этого типа оба оператора, дивергенции и градиента, аппроксимируются в рамках данной ячейки с использованием значения скорости и давления на гранях. Методики РОМБ, основанные на таком подходе, просты в конструировании, экономичны и обладают удовлетворительной точностью на неортогональных сетках.
       В обзоре рассмотрен метод РОМБ для решения:
      — уравнения теплопроводности;
      — системы уравнений энергии в трехтемпературной модели;
      — уравнений газодинамики;
      — гиперболических систем уравнений общего вида;
      — уравнения переноса в диффузионном и P1-приближениях;
      — уравнения переноса в самосопряженном виде.
      Приведены результаты численных экспериментов.