Новый монотонизатор для построения разностных схем, аппроксимирующих уравнение переноса с повышенной точностью

Гусев В. Ю., Козманов М. Ю., Моисеев Н. Я.
Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. Тезисы докл. Междунар. математич. конф 1997. Вып.1. С. 19.

      Рассмотрен один из вариантов нового монотонизатора, основанного на принципе максимума. Применяется для монотонизации решения разностных уравнений, порождаемых явными схемами высокого порядка точности (второго и выше), аппроксимирующими уравнение переноса с постоянным коэффициентом.
      В [1] монотонными разностными схемами для уравнения теплопроводности названы схемы, удовлетворяющие принципу максимума. Аналогичное определение использовано в [2,3] для системы уравнений переноса излучения и уравнения энергии. Настоящая работа является дальнейшим развитием подхода из [4] к монотонизации решения.
      Суть предлагаемого подхода заключается в том, чтобы потоки, вычисленные на этапе предиктора для системы высокого порядка точности, обеспечивали выполнение принципа максимума, а именно: u_min ≤ u^j ≤ u_max. Здесь u_min И u_max — локальные минимум и максимум численного решения на момент времени t_n в окрестности точки x_j; u^j - численное решение в момент t_n + τ в точке x_j. Если неравенство нарушается, то потоки вычисляются из уравнения, записанного на основе этого неравенства для левой и правой границы с заменой выражением из исходного разностного уравнения.
      С помощью монотонизатора на основе схем из [5,6] получены монотонные схемы второго, третьего и четвертого порядков точности, имеющие, в целом порядок выше первого и дающие численные решения с весьма малой диффузией по сравнению с явной монотонней схемой первого порядка точности, что подтверждается результатами численного решения различных модельных задач.
      1. Самарский Л.Л. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
      2. Андреев Е.С., Козманов М.Ю., Рачилов Е.Б. Принцип максимума для системы уравнений энергии и нестационарного уравнения переноса излучения // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1983. Т. 23, N 1. С. 152-159.
      3. Козманов М.Ю. Монотонные схемы для системы уравнений переноса излучения // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 1989. Вып. 2. С. 51-54.
      4. Гусев В.Ю., Козманов М.Ю. Консервативные схемы с использованием характеристик и антидиффузионных скоростей для решения уравнения переноса // Там же. 1996. Вып. 1-2. С. 24-32.
      5. Моисеев Н.Я. Об одной модификации разностной схемы С.К. Годунова // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики. 1983. Вып. 3(14). С. 35-43.
      6. Моисеев Н.Я. Об одном подходе построения гибридных схем с повышенным порядком аппроксимации //Там же. 1988. Вып. 2. С. 11-17.