Устойчивость разностных схем распараллеливания по физическим процессам

Бондаренко Ю. А.
Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов 1994. Вып.2. С. 3-5.

      Приводятся результаты исследования устойчивости разностных схем, в которых на одном временном шаге разные процессы независимо считаются на разных процессорах, после чего результаты их счета суммируются и сумма используется при счете следующего шага. Среди широкого многопараметрического семейства одношаговых разностных схем параллельного счета двух процессов не найдено разностных схем, имеющих второй порядок точности по времени и одновременно абсолютно устойчивых. Простейшая неявная разностная схема параллельного счета трех и более процессов первого порядка точности в отличие от аналогичной схемы расщепления оказалась условно устойчивой. Для этого случая построено семейство абсолютно устойчивых схем распараллеливания (список лит. — 4 назв.).

      Для линейного уравнения d²u / dt² + A(t) u = 0 методом дискретной аппроксимации функционала действия Гамильтона-Остроградского с четвертым порядком точности построено несколько трехслойных разностных схем, явных и неявных. Построенные вариационные разностные схемы аппроксимируют исходное уравнение всего со вторым порядком аппроксимации, когда оператор A(t) зависит от времени t. Оказывается, что при этом всегда существует замена разностного решения вида u (tⁿ) = (1 + τ² B (tⁿ)) v (tⁿ) такая, что для новой неизвестной функции разностная схема аппроксимирует исходное уравнение с четвертым порядком точности. То есть реальная точность имеет четвертый порядок и соответствует погрешности аппроксимации функционала действия, но она является скрытой. Весь анализ проведен для постоянного шага по времени (список лит. — 4 назв.).